六角密堆积(ji)是平面上最(zui)有效堆积(ji)方式的(de)证(zheng)明乃是人类历史上最(zui)天才的(de)数学证(zheng)明之一。

  数学家图

  阿克塞尔·图(tu) (Axel Thue, 1863-1922) 是一位挪威数学(xue)家(jia) (图(tu)1),毕业(ye)于(yu)奥斯陆大(da)学(xue)数学(xue)系,曾受数学(xue)名(ming)家(jia)索菲斯·李的(de)(de)(de)(de)(de)指(zhi)点,以(yi)丢番图(tu)方(fang)程、数论和组合方(fang)面的(de)(de)(de)(de)(de)研究(jiu)而(er)闻(wen)名(ming) (比如证(zheng)明(ming)了(le)方(fang)程 y3 - 2x2 = 1 不可能有无穷多组整数解(jie)),被誉(yu)为思想与成(cheng)就(jiu)皆超前于(yu)时代的(de)(de)(de)(de)(de)人。笔者以(yi)为,其1910年关于(yu)六角密堆积是平面上最(zui)(zui)有效堆积方(fang)式的(de)(de)(de)(de)(de)证(zheng)明(ming)乃是人类(lei)历(li)史上最(zui)(zui)天才的(de)(de)(de)(de)(de)数学(xue)证(zheng)明(ming)之一,也是促成(cheng)笔者撰写这本小册(ce)子的(de)(de)(de)(de)(de)原因。这个证(zheng)明(ming)不仅简洁、天才、惊艳,最(zui)(zui)重(zhong)要的(de)(de)(de)(de)(de)是该证(zheng)明(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)哲学(xue)、技巧(qiao)以(yi)及相关联(lian)的(de)(de)(de)(de)(de)思考具有深刻的(de)(de)(de)(de)(de)启(qi)发性(xing)意义。

图1。 挪威数学家图

图1。 挪威数学家图

  圆的密堆积

  在(zai)桌面(mian)上(shang)摆放一把相(xiang)(xiang)同的(de)圆(yuan)形(xing)硬(ying)币(bi)(bi),这(zhei)会把我们引入(ru)平面(mian)上(shang)圆(yuan)如(ru)(ru)(ru)何铺排(pai) (tessellation) 的(de)有趣(qu)问题。容易(yi)看到,一个(ge)硬(ying)币(bi)(bi)可以(yi)被六(liu)(liu)个(ge)硬(ying)币(bi)(bi)紧(jin)密(mi)环绕(rao)。所谓紧(jin)密(mi)的(de)意(yi)思(si)是(shi),相(xiang)(xiang)邻三(san)(san)个(ge)硬(ying)币(bi)(bi)两(liang)两(liang)相(xiang)(xiang)接(jie),形(xing)成一个(ge)正(zheng)(zheng)三(san)(san)角(jiao)(jiao)形(xing);外(wai)(wai)围(wei)的(de)六(liu)(liu)个(ge)硬(ying)币(bi)(bi)相(xiang)(xiang)互间(jian)是(shi)有接(jie)触的(de),没留下空隙(如(ru)(ru)(ru)图(tu)2)。把外(wai)(wai)围(wei)六(liu)(liu)个(ge)圆(yuan)之(zhi)间(jian)的(de)接(jie)触点(dian)(dian)用(yong)直(zhi)(zhi)线(xian)段连起(qi)来,就得到一个(ge)围(wei)住(zhu)中(zhong)心(xin)圆(yuan)的(de)正(zheng)(zheng)六(liu)(liu)边(bian)形(xing)。如(ru)(ru)(ru)果我们只(zhi)看这(zhei)七个(ge)圆(yuan)的(de)圆(yuan)心(xin),它们的(de)排(pai)列如(ru)(ru)(ru)图(tu)3中(zhong)的(de)七粒(li)莲子所示(记住(zhu),大自然遵从数(shu)学和(he)(he)物理的(de)规(gui)则!从前研(yan)究生物的(de)人懂数(shu)学、物理、哲(zhe)学和(he)(he)艺术(shu),那(nei)时候统称(cheng)博物学家),中(zhong)间(jian)一个(ge)点(dian)(dian),其余六(liu)(liu)个(ge)点(dian)(dian)在(zai)以(yi)其为中(zhong)心(xin)的(de)正(zheng)(zheng)六(liu)(liu)边(bian)形(xing)的(de)六(liu)(liu)个(ge)顶点(dian)(dian) (vertex) 上(shang)。图(tu)2中(zhong)的(de)圆(yuan)在(zai)平面(mian)上(shang)的(de)排(pai)列方式称(cheng)为六(liu)(liu)角(jiao)(jiao)密(mi)堆(dui)积(ji)(ji) (hexagonal close packing)。容易(yi)计算(suan),圆(yuan)铺排(pai)的(de)面(mian)积(ji)(ji)占比(bi),用(yong)圆(yuan)的(de)面(mian)积(ji)(ji)除以(yi)相(xiang)(xiang)邻四个(ge)圆(yuan)中(zhong)心(xin)所张(zhang)成的(de)、边(bian)长为圆(yuan)的(de)直(zhi)(zhi)径(jing)而(er)夹角(jiao)(jiao)为60°/120°的(de)菱形(xing)的(de)面(mian)积(ji)(ji),为

。这样的排列方式,是最致密的。那么,如何证明呢?。这样的排列方式,是最致密的。那么,如何证明呢?

图2。 平面上圆的六角密堆积

图(tu)2。 平面上圆(yuan)的六(liu)角(jiao)密堆(dui)积

图3。 七粒莲子的长法,外围的六个处在围绕中心的正六边形的顶点上

图3。 七粒莲子的长(zhang)法,外围的六个(ge)处(chu)在(zai)围绕中(zhong)心(xin)的正六边形(xing)的顶点(dian)上

  六角密堆积的证明

  阿克塞尔·图(tu)在1910年提供了一个(ge)非常简洁的(de)但是意义(yi)深远的(de)关于六角密堆积(ji)的(de)证(zheng)明。

图4。 (左) 平面上随机分布的小圆,(中) 近邻三小圆及其相互间的垂直平分线,(右) 从垂直平分线的节点处向三小圆作切线,每个圆的两条切线在节点处张开一个相等的顶角

图4。 (左) 平面(mian)上随机分(fen)布的(de)小圆(yuan),(中) 近邻(lin)三小圆(yuan)及其相互间的(de)垂直(zhi)平分(fen)线(xian),(右(you)) 从垂直(zhi)平分(fen)线(xian)的(de)节点处向三小圆(yuan)作切线(xian),每(mei)个圆(yuan)的(de)两(liang)条切线(xian)在(zai)节点处张开(kai)一(yi)个相等的(de)顶角

  第一(yi)步

  作(zuo)为出发点,考(kao)虑图(tu)4左图(tu)中在平面内(nei)随机分布(bu)的(de)(de)诸多小圆(yuan),设想你往桌子上(shang)撒一把(ba)大小相同的(de)(de)豆(dou)(dou)豆(dou)(dou),你就能得到这样的(de)(de)小圆(yuan)在平面上(shang)的(de)(de)分布(bu)。

  第二步(bu)

  作任何(he)一个小(xiao)(xiao)圆同近邻小(xiao)(xiao)圆之圆心连线(xian)的(de)(de)(de)垂直平分线(xian),会得到图(tu)4左图(tu)中(zhong)的(de)(de)(de)连线(xian)结(jie)构—每一个小(xiao)(xiao)圆都(dou)被一个凸多边形(xing)包围(一般为六边形(xing)。你如果没(mei)见过这(zhei)样的(de)(de)(de)图(tu)案(an)(an),可以(yi)去观(guan)察干涸的(de)(de)(de)河底泥巴(ba)断裂图(tu)案(an)(an),或者去观(guan)察许多植物的(de)(de)(de)叶脉。再强调(diao)一句,大自然遵从数学(xue)和物理的(de)(de)(de)规则)。

  第三(san)步

  观察第2步得(de)到的(de)(de)(de)(de)(de)连线(xian)(xian)结构,会注(zhu)意到从每个连线(xian)(xian)节点发出的(de)(de)(de)(de)(de)线(xian)(xian)段都是(shi)三(san)(san)条(tiao)。考察每三(san)(san)个相邻小(xiao)圆(yuan)的(de)(de)(de)(de)(de)连线(xian)(xian)问(wen)题,如果这三(san)(san)个小(xiao)圆(yuan)碰(peng)巧(qiao)在一条(tiao)直(zhi)线(xian)(xian)上,则两(liang)两(liang)连线(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)垂直(zhi)平(ping)分线(xian)(xian)是(shi)平(ping)行的(de)(de)(de)(de)(de)。这样的(de)(de)(de)(de)(de)三(san)(san)小(xiao)圆(yuan)构型不对理解(jie)二维(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)空间铺排问(wen)题有(you)贡献(xian),放过(guo)不管。看一般的(de)(de)(de)(de)(de)情形(图(tu)(tu)4中(zhong)图(tu)(tu)), 近邻三(san)(san)小(xiao)圆(yuan)的(de)(de)(de)(de)(de)三(san)(san)根两(liang)两(liang)之间连线(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)垂直(zhi)平(ping)分线(xian)(xian)交于三(san)(san)小(xiao)圆(yuan)所张(zhang)成之三(san)(san)角形内(nei)部的(de)(de)(de)(de)(de)某个位置。

  第四步

  从垂(chui)直平分线的(de)节(jie)(jie)点向三小(xiao)圆(yuan)(yuan)作切线,共六条(tiao),容易证(zheng)明每(mei)个圆(yuan)(yuan)的(de)两条(tiao)切线在(zai)(zai)节(jie)(jie)点处所张(zhang)的(de)顶(ding)角相(xiang)等(图4右(you)图),记(ji)为θ。但是(shi),在(zai)(zai)平面(mian)内,3θ ≤ 360°,也(ye)即θ 的(de)最(zui)大值为120°,这种情形对应的(de)就是(shi)图1中圆(yuan)(yuan)的(de)排(pai)列方(fang)式,故六角密排(pai)是(shi)最(zui)致(zhi)密的(de)排(pai)列方(fang)式。

  QED。

  细论图的证明

  这个证明的天才、惊艳之处值得多啰嗦几句。

  01

  证(zheng)明(ming)(ming)图2中(zhong)的(de)(de)规(gui)则图案所对应的(de)(de)问(wen)题(ti)(ti)(ti)却从图4左图中(zhong)的(de)(de)一般(ban)性(xing)随机图案出发,这(zhei)个(ge)(ge)(ge)从方(fang)法论的(de)(de)角度来看就是了不(bu)起的(de)(de)举动。其所隐含的(de)(de)哲学意(yi)味也是有趣的(de)(de)——一个(ge)(ge)(ge)问(wen)题(ti)(ti)(ti)在更(geng)复(fu)杂的(de)(de)语境中(zhong)反(fan)而是简(jian)单的(de)(de)。可(ke)以举一例说(shuo)明(ming)(ming)。任(ren)意(yi)四(si)个(ge)(ge)(ge)整数的(de)(de)平方(fang)乘以任(ren)意(yi)四(si)个(ge)(ge)(ge)整数的(de)(de)平方(fang),其积可(ke)以表示为四(si)个(ge)(ge)(ge)整数的(de)(de)平方(fang)。如(ru)果只知道实数 (含整数) 和复(fu)数,这(zhei)个(ge)(ge)(ge)问(wen)题(ti)(ti)(ti)的(de)(de)证(zheng)明(ming)(ming)可(ke)能无从下(xia)手(shou)。但(dan)是, 如(ru)果懂四(si)元(yuan)数的(de)(de)数学,则这(zhei)个(ge)(ge)(ge)问(wen)题(ti)(ti)(ti)的(de)(de)证(zheng)明(ming)(ming)就是个(ge)(ge)(ge)练习题(ti)(ti)(ti)而已。

  02

  从图(tu)4左(zuo)图(tu)中(zhong)的(de)(de)完全无规(gui)的(de)(de)分(fen)布出发(fa),发(fa)现所有(you)的(de)(de)节(jie)点都(dou)发(fa)出三(san)条线,散(san)乱无规(gui)的(de)(de)分(fen)布突然变(bian)得有(you)规(gui)律了。这样,原(yuan)来一(yi)个(ge)关于平面里的(de)(de)全局问题,变(bian)成了围绕(rao)一(yi)个(ge)点的(de)(de)局部问题。这告(gao)诉我们变(bian)换(huan)对问题的(de)(de)看法有(you)多(duo)么重(zhong)要。要不数学物理整天研(yan)究变(bian)换(huan)和变(bian)换(huan)不变(bian)性呢(ni)!

  03

  作(zuo)(zuo)相(xiang)(xiang)邻(lin)点连(lian)(lian)线(xian)的(de)(de)(de)垂(chui)直(zhi)平分(fen)(fen)(fen)(fen)线(xian),想(xiang)(xiang)法有趣,结(jie)(jie)果(guo)意义深(shen)远(yuan)。那(nei)(nei)么(me)(me),人(ren)家(jia)(jia)是(shi)(shi)怎(zen)么(me)(me)想(xiang)(xiang)到(dao)要这(zhei)(zhei)么(me)(me)做的(de)(de)(de)呢?笔(bi)者在(zai)给研究生讲(jiang)授表面物理(li)的(de)(de)(de)时候,突然(ran)想(xiang)(xiang)到(dao),这(zhei)(zhei)就是(shi)(shi)个发(fa)面的(de)(de)(de)过程。设想(xiang)(xiang)图(tu)(tu)4左图(tu)(tu)中的(de)(de)(de)每个小圆是(shi)(shi)一(yi)个发(fa)面团(tuan),随着烘烤的(de)(de)(de)进行面团(tuan)会(hui)向各方(fang)(fang)向扩(kuo)张(zhang),则相(xiang)(xiang)邻(lin)两个面团(tuan)最后达(da)成(cheng)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)(fen)界(jie)线(xian)就是(shi)(shi)两面团(tuan)之间(jian)连(lian)(lian)线(xian)的(de)(de)(de)垂(chui)直(zhi)平分(fen)(fen)(fen)(fen)线(xian) (有兴趣的(de)(de)(de)读者不妨(fang)去面包(bao)店(dian)看(kan)(kan)看(kan)(kan)托盘中烤好的(de)(de)(de)面包(bao)边(bian)界(jie)所构(gou)成(cheng)的(de)(de)(de)图(tu)(tu)案,见图(tu)(tu)5)。图(tu)(tu)4左图(tu)(tu)中那(nei)(nei)些(xie)连(lian)(lian)线(xian)在(zai)小圆周围围成(cheng)的(de)(de)(de)多边(bian)形,称为伏(fu)龙(long)(long)诺(nuo)(nuo)伊(yi)(yi)单胞 (Voronoi cell)。伏(fu)龙(long)(long)诺(nuo)(nuo)伊(yi)(yi) (Гео́ргий Феодо́сьевич Вороно́й,1868-1908) 是(shi)(shi)俄罗斯(si)数(shu)学家(jia)(jia)。 图(tu)(tu)4中左图(tu)(tu)中的(de)(de)(de)那(nei)(nei)些(xie)凸多边(bian)形,伏(fu)龙(long)(long)诺(nuo)(nuo)伊(yi)(yi)单胞,可(ke)以(yi)看(kan)(kan)作(zuo)(zuo)是(shi)(shi)对(dui)(dui)平面的(de)(de)(de)划(hua)分(fen)(fen)(fen)(fen)方(fang)(fang)案。这(zhei)(zhei)个划(hua)分(fen)(fen)(fen)(fen)方(fang)(fang)案意义就大了,叶(ye)脉的(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)(fen)布 (供水)、城市(shi)交通(tong)以(yi)及学校(xiao)医院如何分(fen)(fen)(fen)(fen)布,不妨(fang)都参照一(yi)下这(zhei)(zhei)个划(hua)分(fen)(fen)(fen)(fen)方(fang)(fang)案。其(qi)实,图(tu)(tu)4中图(tu)(tu)中的(de)(de)(de)三个小圆可(ke)连(lian)(lian)成(cheng)一(yi)个三角(jiao)形,别处也一(yi)样。这(zhei)(zhei)恰是(shi)(shi)对(dui)(dui)平面的(de)(de)(de)三角(jiao)化(triangulation) 划(hua)分(fen)(fen)(fen)(fen), 这(zhei)(zhei)样做的(de)(de)(de)合理(li)性是(shi)(shi)建(jian)立在(zai)三角(jiao)形的(de)(de)(de)刚性上(shang)的(de)(de)(de)。晶体(ti)(ti)可(ke)以(yi)看(kan)(kan)作(zuo)(zuo)是(shi)(shi)一(yi)堆原(yuan)(yuan)子占满了空(kong)(kong)间(jian),作(zuo)(zuo)相(xiang)(xiang)邻(lin)原(yuan)(yuan)子连(lian)(lian)线(xian)的(de)(de)(de)垂(chui)直(zhi)平分(fen)(fen)(fen)(fen)面可(ke)以(yi)得(de)到(dao)围绕每个原(yuan)(yuan)子的(de)(de)(de)一(yi)个凸多面体(ti)(ti),这(zhei)(zhei)个凸多面体(ti)(ti)是(shi)(shi)伏(fu)龙(long)(long)诺(nuo)(nuo)伊(yi)(yi)单胞的(de)(de)(de)三维对(dui)(dui)应,被称为Wigner-Seitz 单胞。单胞结(jie)(jie)构(gou)和原(yuan)(yuan)来的(de)(de)(de)点结(jie)(jie)构(gou)是(shi)(shi)对(dui)(dui)偶的(de)(de)(de) (dual)。什么(me)(me)意思呢?你(ni)对(dui)(dui)空(kong)(kong)间(jian)中分(fen)(fen)(fen)(fen)布的(de)(de)(de)物理(li)量用(yong)函数(shu) eikx 作(zuo)(zuo)傅里叶(ye)变换 (晶体(ti)(ti)的(de)(de)(de)X-射线(xian)衍射),所得(de)结(jie)(jie)果(guo)在(zai)k-空(kong)(kong)间(jian)中也会(hui)有结(jie)(jie)构(gou),那(nei)(nei)就是(shi)(shi)作(zuo)(zuo)空(kong)(kong)间(jian)中原(yuan)(yuan)子连(lian)(lian)线(xian)的(de)(de)(de)垂(chui)直(zhi)平分(fen)(fen)(fen)(fen)面所得(de)到(dao)的(de)(de)(de)结(jie)(jie)构(gou)。

图5。 原先分立的面团经烘烤长大后,两面团边界就是面团中心连线的垂直平分线,这些垂直平分线围成的多边形就决定了面包的形状。

图5。 原(yuan)先分(fen)立的(de)面团(tuan)经(jing)烘烤(kao)长(zhang)大(da)后,两(liang)面团(tuan)边界就是(shi)面团(tuan)中心(xin)连线(xian)的(de)垂(chui)直(zhi)平分(fen)线(xian),这些垂(chui)直(zhi)平分(fen)线(xian)围成的(de)多边形(xing)就决(jue)定了(le)面包的(de)形(xing)状。

  注意,平面六角密堆积和蜂窝结构非常容易混淆。平面六角密堆积中,堆积的对象是球,堆积成的结构被称为三角格子 (triangular lattice), 相邻的三个球之球心构成等边三角形。如果我们考察一个蜂窝 (图6左图),把六角形的空巢当作主角,有蜂蛹的话可以拿蜂蛹作主角,会发现它们和图2的小球排列方式是一样的,属于三角格子。注意,这里的关键点是,这里每一个小蜂巢或者蜂蛹在空间上都是等价的。但是,如果我们考察蜂巢的壁,把蜂巢壁的节点当成主角的话,那就是常说的蜂窝结构。如果每个对应蜂窝结构的三条连线节点上放上一个炭[1]原子的话,那就是炭单层结构 (图6右图)。这里的关键点是,相邻的两个炭原子是不等价的。对于蜂窝结构,也有蜂窝猜想,即蜂窝结构用料(蜂蜡)最省。翻译成几何语言,就是“将平面分割成多边形,在多边形面积一定的前提下,分成六角格子的分法(蜂窝形)所产生的多边形周长最短。”将多边形的面积设定为单位面积,则最短边长为

  蜂窝(wo)猜想据说是(shi)古(gu)希腊(la)人(ren)于(yu)(yu)约公元四世(shi)纪提出的,严格(ge)证明(ming)是(shi)美(mei)国数(shu)学家(jia)海尔斯 (Thomas Hales,1958-) 于(yu)(yu)1999年给出的。

图6。 (左) 峰巢或者其中的蜂蛹是主角的堆积方式是平面六角密堆积,属于三角格子;(右) 六角形区域的三节点作为主角的堆积方式是蜂窝结构,属于六角格子。

图(tu)6。 (左) 峰巢或者(zhe)其中的(de)蜂(feng)蛹是主角(jiao)的(de)堆(dui)(dui)积方(fang)式是平面六(liu)角(jiao)密堆(dui)(dui)积,属于(yu)三角(jiao)格子;(右) 六(liu)角(jiao)形区域的(de)三节点作为主角(jiao)的(de)堆(dui)(dui)积方(fang)式是蜂(feng)窝结构,属于(yu)六(liu)角(jiao)格子。

  平面内圆(yuan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)密(mi)堆(dui)积(ji)问题在(zai)三维空(kong)(kong)间里对应的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)球(qiu)(qiu)(qiu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)密(mi)堆(dui)积(ji)。设想把(ba)(ba)球(qiu)(qiu)(qiu)在(zai)平面内按照图2中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)六(liu)角(jiao)密(mi)堆(dui)积(ji)排(pai)成(cheng)一(yi)层(ceng),记(ji)为(wei)(wei)A层(ceng)。将同样的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)层(ceng),B层(ceng),放(fang)到A层(ceng)上,且每个(ge)(ge)B层(ceng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)球(qiu)(qiu)(qiu)落(luo)在(zai)A层(ceng)中(zhong)相(xiang)邻(lin)三球(qiu)(qiu)(qiu)围(wei)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)空(kong)(kong)隙中(zhong)。现在(zai)考(kao)虑第三层(ceng), C层(ceng),的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)放(fang)法。选(xuan)择1,C层(ceng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)球(qiu)(qiu)(qiu)落(luo)在(zai)B层(ceng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)邻(lin)三球(qiu)(qiu)(qiu)围(wei)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)空(kong)(kong)隙中(zhong), 但是(shi)(shi)位于(yu)A层(ceng)球(qiu)(qiu)(qiu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)正上方(fang)。换句话(hua)说,C层(ceng)就是(shi)(shi)另一(yi)个(ge)(ge)A层(ceng)。重复(fu)上述(shu)步(bu)骤,得到 ABABABAB… 形式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)空(kong)(kong)间排(pai)列,这种排(pai)列方(fang)式(shi)是(shi)(shi)空(kong)(kong)间的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)六(liu)角(jiao)密(mi)堆(dui)积(ji)(hexagonal close packing)。如 ZnS 一(yi)类的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)二元(yuan)物质(zhi)容(rong)易以两个(ge)(ge)异种原(yuan)子为(wei)(wei)单(dan)元(yuan)采取这种堆(dui)垛方(fang)式(shi)。 选(xuan)择2,C层(ceng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)球(qiu)(qiu)(qiu)落(luo)在(zai)B层(ceng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)邻(lin)三球(qiu)(qiu)(qiu)围(wei)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)空(kong)(kong)隙,但也(ye)处于(yu)A层(ceng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)邻(lin)三球(qiu)(qiu)(qiu)围(wei)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)空(kong)(kong)隙正上方(fang)。 重复(fu)上述(shu)步(bu)骤,得到ABCABCABCABC…形式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)空(kong)(kong)间排(pai)列,这种排(pai)列方(fang)式(shi)是(shi)(shi)空(kong)(kong)间的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)立(li)方(fang)密(mi)堆(dui)积(ji) (cubic close packing)。一(yi)般单(dan)质(zhi)金属如金、银(yin)、铜等的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)固(gu)体(ti)中(zhong),原(yuan)子会采取立(li)方(fang)密(mi)堆(dui)积(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)式(shi)。固(gu)体(ti)物理上把(ba)(ba)这种结构称(cheng)为(wei)(wei)面心立(li)方(fang)。水果店里那(nei)(nei)些不是(shi)(shi)完美(mei)球(qiu)(qiu)(qiu)形的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)水果也(ye)采取这种排(pai)列方(fang)式(shi) (走,观(guan)(guan)察去(qu)!)。 这种结构的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)固(gu)体(ti),虽然外观(guan)(guan)上易呈立(li)方(fang)状,原(yuan)子排(pai)列也(ye)有(you)四次(ci)转动轴 (转角(jiao)90°),但是(shi)(shi)不要忘了(le)它是(shi)(shi)由(you)平面六(liu)角(jiao)密(mi)堆(dui)积(ji)堆(dui)垛而来,那(nei)(nei)里的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)三次(ci)转动 (转角(jiao)120°) 才是(shi)(shi)它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)最高对称(cheng)性。这两种堆(dui)垛方(fang)式(shi)有(you)时就含糊地统(tong)称(cheng)为(wei)(wei)空(kong)(kong)间的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)六(liu)角(jiao)密(mi)堆(dui)积(ji),它们(men)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)空(kong)(kong)间占比都是(shi)(shi)

[2]。

  开普(pu)勒 (Johannes Kepler, 1571-1630) 猜(cai)测这(zhei)样的(de)(de)堆(dui)(dui)(dui)垛(duo)(duo)方式是(shi)密(mi)度最(zui)大(da)或者(zhe)说(shuo)空间占比(bi)最(zui)大(da)的(de)(de),这(zhei)就(jiu)是(shi)所谓(wei)的(de)(de)开普(pu)勒猜(cai)想 (Kepler’s conjecture,1611年提出)。 三(san)维(wei)空间中(zhong)球(qiu)的(de)(de)密(mi)堆(dui)(dui)(dui)积问(wen)题(ti)来源于英国人(ren)关(guan)切球(qiu)形(xing)(xing)炮弹(dan)的(de)(de)堆(dui)(dui)(dui)垛(duo)(duo)问(wen)题(ti),面(mian)对按照六角(jiao)密(mi)堆(dui)(dui)(dui)积堆(dui)(dui)(dui)出的(de)(de)外形(xing)(xing)不同的(de)(de)一(yi)堆(dui)(dui)(dui)炮弹(dan),你能否脱口说(shuo)出有(you)多(duo)少发(fa)? 生物体(ti)中(zhong)有(you)很(hen)多(duo)这(zhei)种(zhong)小球(qiu)体(ti) (corpuscule) 堆(dui)(dui)(dui)积而成的(de)(de)结构,可(ke)怜一(yi)些 (故意装作(zuo)) 不懂(dong)数学(xue)的(de)(de)人(ren)儿,花(hua)费(fei)大(da)量经费(fei)和时(shi)间用(yong)各种(zhong) (不会用(yong)的(de)(de)) 仪器研究(jiu)这(zhei)个问(wen)题(ti),最(zui)后(hou)还(hai)是(shi)美国建筑学(xue)家(jia)富勒 (Buckminster Fuller,1895-1983) 告诉他们这(zhei)种(zhong)小问(wen)题(ti)不用(yong)那么努力认真(zhen)研究(jiu),有(you)现成的(de)(de)、特(te)别简单的(de)(de)数学(xue)公式,口算(suan)一(yi)下(xia)就(jiu)行了(le)。

  证明开普勒猜(cai)想,用阿克塞尔·图对(dui)(dui)付平(ping)面(mian)中圆密堆积的(de)(de)方(fang)法(fa)不凑效,因为包围(wei)单(dan)个球的(de)(de)凸多(duo)面(mian)体不是(shi)单(dan)一的(de)(de)——最(zui)小的(de)(de)凸多(duo)面(mian)体是(shi)正(zheng)十二面(mian)体。不过,似乎也只有有限种(zhong)选择,因此穷举法(fa)未必不是(shi)证明的(de)(de)思路。1831年(nian),高(gao)斯证明了(le)如果球必须(xu)按照规(gui)则的(de)(de)晶(jing)格排列(lie)(有平(ping)移(yi)对(dui)(dui)称性(xing)的(de)(de)排列(lie)),那(nei)开普勒猜(cai)想就是(shi)正(zheng)确的(de)(de)。海尔斯的(de)(de)团队于1998 年(nian)宣布找到了(le)证明,最(zui)后的(de)(de)证明于2017年(nian)发表在 Forum of Mathematics Pi 杂志上。

  顺便说一句,有数学家认为阿克塞尔·图的证明不完备。完备性是数学证明里忒麻烦的东西,非笔者这样的非数学家可以讨论的。有关于平面圆密排定理的另一个证明, 略述如下。将平面作捷洛内 (Бори́с Никола́евич Делоне́,1890-1980) [3]三角划分,即将平面上单位圆的圆心连接使得平面被分割成一个一个的三角形 (图7),可以证明这样的三角形,其内角必须在

  之间(jian),而面(mian)积(ji)占比为(wei)三个内角作为(wei)圆心角的(de)单位圆弧之和除(chu)以三角形的(de)面(mian)积(ji),而前者等于 π/2,而后者最大值为(wei)

,

  因此这个(ge)比值(zhi) ≤

,等号在六角密排时成立。 QED。

  这个(ge)(ge)证(zheng)明其实和阿克(ke)塞(sai)尔·图的证(zheng)明是(shi)有千(qian)丝万缕的联系的。对捷洛内三角(jiao)划分(fen)的每一个(ge)(ge)三角(jiao)形找(zhao)出其外(wai)接(jie)圆的圆心,将围(wei)绕(rao)三角(jiao)划分(fen)某个(ge)(ge)节点的相邻(lin)外(wai)接(jie)圆圆心连接(jie)起来,就(jiu)得(de)到伏龙诺伊元胞(bao)。

图7。 平面的捷洛内三角划分

图7。 平面的捷洛内(nei)三角(jiao)划分

  多余的话

  最后想说一句(ju),这世界就没(mei)有简单的(de)(de)(de)(de)学问。一项学问的(de)(de)(de)(de)延伸是(shi)无(wu)止境的(de)(de)(de)(de)。你知道的(de)(de)(de)(de)越(yue)多,你就越(yue)为人(ren)类的(de)(de)(de)(de)才智所惊叹,你就会越(yue)谦(qian)(qian)虚。其实,也(ye)不是(shi)谁想谦(qian)(qian)虚,只是(shi)别(bie)无(wu)选择。